Esperanza matemática
La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.
![media](http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/images/100.gif)
Los nombre de esperanza matemática y valor esperado
tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia
promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de
apuestas.
Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.
Ejemplos
1.- Si una
persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000
€ ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003.
¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €
2.- Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 €
si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece
cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.
E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}
p(+1) = 2/4
p(+2) = 1/4
p(−5) = 1/4
E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable3.- En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está distribuida normalmente con una media de 26º y una desviación típica de 4º.
Calcular el número de días que se "espera", tengan temperatura máxima comprendida entre 22º y 28º.
Como se trata de una distribución Normal, tipificamos (estandarizamos) los valores 22 y 28:
z1= (22 – 26) / 4 = -1
z2 = (28 – 26) / 4 = 0, 5
Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima esté entre 22 y 28º es:
p( 22< x < 28) = p( -1 < z < 0,5 ) = 0, 5328
Y el número esperado (esperanza) de días es:
E(x) = n * p = 30 * 0, 5328 ≈ 16 días
4.-
Ejemplo. Si X es el número de puntos obtenidos al
lanzar un dado de seis caras, encontremos el valor esperado de la variable
aleatoria Y = X2 .
La función de probabilidad de X es f(x) = 1/6 si xÎ{1,2,3,4,5,6}. La función de probabilidad
de Y = X2 es entonces f(y) = 1/6 si yÎ{1,4,9,16,25,36}, así E(Y) = 1/6*1 + 1/6*4 + 1/6*9 + 1/6*16 + 1/6*25 + 1/6*36 = 12*P(X=1)
+ 22*P(X= 2) + 32*P(X= 3) + 42*P(X= 4) + 52*P(X=
5) + 62*P(X= 6) = å X2*P(X=x)
Ejemplo. Supongamos ahora que X es una v.a. que
tiene función de probabilidad f(x) = 1/6 si xÎ{-2,-1,0,1,2,3}y
Y = X2 .
La función de probabilidad de Y es f(y) = 2/6 si yÎ{1, 4}
y f(y) = 1/6 si yÎ{0, 9}. Entonces E(Y) =
2/6*1 + 2/6*4 + 1/6*0 + 1/6*9. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera:
E(Y) = 2/6*1 + 2/6*4 + 1/6*0 + 1/6*9 = 1*P(Y=1) + 4*P(Y=4) + 0*P(Y=0)
+ 9*P(Y=1) = 12*P(X=1 ó
X=-1) + 22*P(X=2 ó X=-2) + 02*P(X=0) + 32*P(X=3)
= å
X2*P(X=x)
A través de estos ejemplos vemos
que no es necesario calcular la función de probabilidad de Y, sólo tenemos que
usar la función de probabilidad de X y los valores obtenidos al aplicar la
función Y = g(X) = X2 . Esto es cierto aún en el
caso en que la función no es uno-uno.
LA VARIANZA
La varianza la denotamos mediante V(X) o
VAR(X) o s2, y se calcula
como,
![](file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.gif)
Obsérvese que del mismo modo en
que se demuestra la relación se comprueba que
V(X)=E(X2)-(E(X))2
Similarmente,
V(a+bX)=b2.V(X)=b2s2
Ejemplo. Consideramos una variable
aleatoria discreta con función de probabilidad,
![](file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.gif)
Obtener el valor de la constante c
para que sea una función de probabilidad, los valores de las funciones de
probabilidad y distribución para todos los valores de x, y P(x=3), y P(x≤3).
Solución: Para ello consideramos,
![](file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.gif)
ya que tenemos la suma de una
progresión geométrica de razón menor que la unidad:
Calculemos
sucesivos valores de f(x) y F(x),
x
|
2
|
3
|
4
|
5
|
…
|
f(x)
|
3/4
|
3/16
|
3/64
|
3/256
|
…
|
F(x)
|
0.75
|
0.94
|
0.987
|
0.999
|
….
|
Y como se observa que: si x
crece, f(x) decrece y F(x) crece hasta llegar a su máximo valor 1
P(X=3)=f(3)=0.047 P(X≤3)=0.987
Ejemplo para la variable aleatoria
continua, función de densidad
![](file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image008.gif)
Hallar: El valor de la constante
c para que sea una función de densidad, la función de distribución, el valor
medio, y la probabilidad de que la variable este comprendida entre 0,2 y 0,7
Solución. Consideremos,
![](file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image010.gif)
La cual debe ser
de valor 1, entonces c/4=1, esto es, c=4
![](file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.gif)
luego, la
función de distinción acumulada es F(x)=x4 para 0<x≤1, 0 en
valores x≤0 y 1 para x≥1
El valor medio es
![](file:///C:\DOCUME~1\edimar\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image014.gif)
P(0.2≤x≤0.7)=F(0.7)-F(0.2)=0.72-0.22=0.24
Ejemplo, Calcule la varianza de la
variable aleatoria x, que representa el número de puntos obtenidos con un dado.
m=E(X)=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6
m`2=E(X2)=12*1/6+22*1/6+32*1/6+42*1/6+52*1/6+62*1/6
10.-n pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses | Niños |
9 | 1 |
10 | 4 |
11 | 9 |
12 | 16 |
13 | 11 |
14 | 8 |
15 | 1 |
11.-Calcular la varianza.
xi | fi | Ni | xi · fi | x²i · fi |
9 | 1 | 1 | 9 | 81 |
10 | 4 | 5 | 40 | 400 |
11 | 9 | 14 | 99 | 1089 |
12 | 16 | 30 | 192 | 2304 |
13 | 11 | 41 | 143 | 1859 |
14 | 8 | 49 | 112 | 1568 |
15 | 1 | 50 | 15 | 225 |
50 | 610 | 7526 |
12.-Media aritmética
![media](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/122.gif)
13.-Varianza
![varianza](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/123.gif)
3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Veces | 3 | 8 | 9 | 11 | 20 | 19 | 16 | 13 | 11 | 6 | 4 |
14.- Calcular desviación típica.
xi | fi | xi · fi | xi2 · fi |
2 | 3 | 6 | 12 |
3 | 8 | 24 | 72 |
4 | 9 | 36 | 144 |
5 | 11 | 55 | 275 |
6 | 20 | 120 | 720 |
7 | 19 | 133 | 931 |
8 | 16 | 128 | 1024 |
9 | 13 | 117 | 1053 |
10 | 11 | 110 | 1100 |
11 | 6 | 66 | 726 |
12 | 4 | 48 | 576 |
120 | 843 | 6633 |
![media y varianza](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/223.gif)
15.-Calcular la varianza de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) | [15, 20) | [20, 25) | [25, 30) | [30, 35) | |
fi | 3 | 5 | 7 | 4 | 2 |
xi | fi | xi · fi | xi2 · fi | |
[10, 15) | 12.5 | 3 | 37.5 | 468.75 |
[15, 20) | 17.5 | 5 | 87.5 | 1537.3 |
[20, 25) | 22.5 | 7 | 157.5 | 3543.8 |
[25, 30) | 27.5 | 4 | 110 | 3025 |
[30, 35) | 32.5 | 2 | 65 | 2112.5 |
21 | 457.5 | 10681.25 |
16.-Media
![media](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/177.gif)
17.-Varianza
![varianza](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/179.gif)
18.-Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
xi | fi | xi · fi | xi2 · fi | |
---|---|---|---|---|
[10, 20) | 15 | 1 | 15 | 225 |
[20, 30) | 25 | 8 | 200 | 5000 |
[30,40) | 35 | 10 | 350 | 12 250 |
[40, 50) | 45 | 9 | 405 | 18 225 |
[50, 60 | 55 | 8 | 440 | 24 200 |
[60,70) | 65 | 4 | 260 | 16 900 |
[70, 80) | 75 | 2 | 150 | 11 250 |
42 | 1 820 | 88 050 |
![media](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/61.gif)
![varianza](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/62.gif)
19.-Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:
Altura | [170, 175) | [175, 180) | [180, 185) | [185, 190) | [190, 195) | [195, 2.00) |
Nº de jugadores | 1 | 3 | 4 | 8 | 5 | 2 |
Calcula la varianza.
xi | fi | Fi | xi · fi | xi2 · fi | |
[1.70, 1.75) | 1.725 | 1 | 1 | 1.725 | 2.976 |
[1.75, 1.80) | 1.775 | 3 | 4 | 5.325 | 9.453 |
[1.80, 1.85) | 1.825 | 4 | 8 | 7.3 | 13.324 |
[1.85, 1.90) | 1.875 | 8 | 16 | 15 | 28.128 |
[1.90, 1.95) | 1.925 | 5 | 21 | 9.625 | 18.53 |
[1.95, 2.00) | 1.975 | 2 | 23 | 3.95 | 7.802 |
23 | 42.925 | 80.213 |
20.-Media
![media](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/136.gif)
Varianza
![desviación](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/224.gif)
7.Dada la distribución estadística:
[0, 5) | [5, 10) | [10, 15) | [15, 20) | [20, 25) | [25, ∞) | |
fi | 3 | 5 | 7 | 8 | 2 | 6 |
Calcular la varianza.
xi | fi | Fi | |
[0, 5) | 2.5 | 3 | 3 |
[5, 10) | 7.5 | 5 | 8 |
[10, 15) | 12.5 | 7 | 15 |
[15, 20) | 17.5 | 8 | 23 |
[20, 25) | 22.5 | 2 | 25 |
[25, ∞) | 6 | 31 | |
31 |
Media
No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.
Varianza
Si no hay media no es posible hallar la varianza.
8.Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media y su varianza.
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y varianza.
xi | xi2 |
2 | 4 |
3 | 9 |
4 | 16 |
6 | 36 |
8 | 64 |
10 | 100 |
33 | 229 |
1
![media](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/132.gif)
2
![varianza](http://www.vitutor.co.uk/estadistica/descriptiva/images/133.gif)