miércoles, 1 de mayo de 2013

DISTRIBUCION BINOMIAL

 
1. DISTRIBUCIÓN  BINOMIAL

Las características de esta distribución son:
a)      En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).
b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.
c)      Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.
d)      El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

  A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema que tenga este tipo de distribución.
Ejemplo:
1.-Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas.

Solución:
Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, águila o sello, cutas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3.

Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en donde representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.


A = águila,  S = sello                                         

                                                                 1/2       A



                                         1/2       A

                                                                 1/2       S

                             A

                                                                 1/2       A

                        1/2                   1/2       S

                                                                            S

                                                                 1/2       A



                  1/2                                 A

                                         1/2                   1/2       S

                             S

                                                                 1/2       A

                                         1/2       S

                                                    

                                                                 1/2       S                                                        


 
                                              





d={AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS}

Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente:

n = número de lanzamientos de moneda
x = número de “éxitos” requeridos = número de águilas = 2
p = probabilidad de “éxito”= p(aparezca águila) =1/2
q = probabilidad de “fracaso”= p(aparezca sello) =1/2

Entonces podemos partir de la siguiente expresión para desarrollar la fórmula;


P(aparezcan 2 águilas)=(No. De ramas del árbol en donde ap. 2 águilas)(probabilidad asociada a cada rama)

Entonces el número de ramas en donde aparecen dos águilas se puede obtener;

Enumerando las ramas de interés, estas serían: AAS, ASA, SAA, ¿QUÉ TIPO DE ARREGLOS SON ESTOS ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL?, Son permutaciones en donde algunos objetos son iguales, entonces, el número de ramas se puede obtener con la fórmula correspondiente,

                                              
donde n = x1+x2+...+xk

sustituyendo en esta fórmula, tenemos lo siguiente;

                                                     

esta fórmula puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el caso de dos tipos de objetos, si hay más de dos tipos de objetos, definitivamente solo se usa la fórmula original, como se observará en el caso de la distribución multinomial, pero ¿porqué vamos a cambiar de fórmula?, simplemente porque en todos los libros de texto que te encuentres vas a encontrar la fórmula de combinaciones en lugar de la de permutaciones, que es la siguiente,


                                                 

y sustituyendo valores, nos damos cuenta de que efectivamente son 3 las ramas de interés, que son donde aparecen dos águilas, donde n = 3, x = 2.


                                               

¿Y la probabilidad asociada a cada rama?
Probabilidad asociada a cada rama = p(águila)*p(águila)*p(sello)= p*p*q = p2q=

                                        =

Luego la fórmula de la distribución Binomial sería:


                                                    

donde:
p(x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad de éxito es p

Dando solución al problema de ejemplo tenemos lo siguiente:
n = 3, x = 2, p = ½

                              

Para calcular la media y la desviación estándar de un experimento que tenga una  distribución Binomial usaremos las siguientes fórmulas:


Media o valor esperado.


                                        

Donde:
n = número de ensayos o repeticiones del experimento
P = probabilidad de éxito o la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular la media que se refiere la media
Q =  complemento de P


Desviación estándar.

                                     


Ejemplos: 

2.-Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no  se atribuyan a errores humanos.

Solución:
a) n = 5
x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano
p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75
q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

                                

b)     

                                            

c) En este caso cambiaremos el valor de p;
n =5
x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos
p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25
q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75


                


3.-Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.

Solución:
a) n =12
x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa
x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa
p =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40
q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60

               

                                                        = 0.21284

      b) p(X=3, 4, ...,12, n=12, p=0.40) = p(x=3)+p(x=4)+…+p(x=12)= 1-[p(x=0,1,2)]=

     


   


     = 1-[0.002176+0.0174096+0.06385632]= 1- 0.08344192= 0.91656

c)             

                                         = 0.22703


  
4.-La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.

Solución:
a)n =10
x =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB
x = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dB
p = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15
q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85


            

                                                      = 0.00849
b)p(x=2,3,...,10, n=10, p=0.15)=  1- p(x = 0,1) =
         
         = 1 – [(0.19687+(10)(0.15)(0.231617)]=1-0.544296 = 0.455705
c) n=10
x= variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido no excede de 2 dB
x= 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dB
p = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85
q = p(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15
       
                                                        =(210)(0.522)(0.00001139)+(252)(0.4437)(0.000075937)+(210)(0.3771495)(0.00005063)=
                                                       =0.001249 + 0.00849 +  0.00400997 = 0.01374897
d)n=10, p=0.15, q=1-p=0.85

Interpretación:
Se espera que 2 de los 10 amplificadores probados se excedan de un nivel de ruido de 2 Db

Interpretación:
Este experimento puede variar en 2 ± 1 amplificador, esto es, de 1 a 3 amplificadores que se excedan de un nivel de ruido de 2 dB

5.-La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n = 4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.8)
binomial
2.¿Y al menos 2?
binomial
binomial

Parámetros de la distribución binomial
Media
media
Varianza
varianza
Desviación típica
desviación típica
Ejemplo
6.-La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
solución
solución
solución


Ejercicio 7

Problemas resueltos distribución binomial.

Ejercicio 8

Problemas resueltos  distribución binomial.

Ejercicio 9

Problemas resueltos  distribución binomial.

Ejercicio 10

Problemas  distribución binomial.


11.-"Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una de ellas con tres posibles respuestas, de forma que sólo una de las tres es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que contesta al azar acierte 6?"

Definimos X="Número de aciertos en las 10 preguntas".  En este caso, cada pregunta es cada una de las pruebas que se repiten, o sea, n = 10.
De la manera que  está planteado el problema sólo hay dos posibles resultados, o acierta (éxito, pues me preguntan sobre los aciertos) o no acierta (fracaso)  y la probabilidad de acierto en cada prueba es la misma,  1 / 3.

Por tanto efectivamente X sigue una distribución binomial ;  X es   B(10, 1/3) y el problema me pide  P [ X = 6 ]

Para calcular esa probabilidad, observamos que X = 6 significa 6 aciertos y 4 fallos, o sea (1 / 3 ) 6 · (2 / 3 ) 4. Además hay que tener en cuenta cómo repartir los 6 acierto a lo largo de las 10 preguntas; no importa el orden y no se pueden repetir las preguntas, por tanto combinación sin repetición de 10 elementos tomados de 6 en 6.Luego la probabilidad pedida es:






 

12. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de  buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en esta s condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
13Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
solución
14.Al menos tres personas.
solución
solución
15.Exactamente dos personas.
solución
16.-Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinc
o está  comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen
10 números de  teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
solución




17.-La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces
 ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?
 ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
solución
solución


En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar
 y se anota  si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. 

Calcular la media y la desviación típica.
B(10, 1/3) p = 1/3q = 2/3
solución
solución

18.-lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más
 caras que cruces
.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
solución
solución
 

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